志第三十律历十

○观天历

元祐《观天历》

演纪上元甲子,距元祐七年壬申,岁积五百九十四万四千八百八算。上考往古,每年减一;下验将来,每年加二。

步气朔

统法:一万二千三十。

岁周:四百三十九万三千八百八十。

岁余:六万三千八十。

气策:一十五、余二千六百二十八、秒一十一。

朔实:三十五万五千二百五十三。

朔策:二十九、余六千三百八十三。

望策:一十四、余九千二百六、秒一十八。

弦策:七、余四千六百三、秒九。

岁闰:一十三万八百四十四。

中盈分:五千二百五十六、秒二十四。

朔虚分:五千六百四十七。

没限分:九千四百二。

闰限:三十四万四千三百四十九、秒一十二。

旬周:七十二万一千八百。

纪法:六十。

以上秒母同三十六。

推天正冬至:置距所求积年,以岁周乘之,为气积分;满旬周去之,不尽,以统法约之为大余,不满为小余。其大余命甲子,算外,即所求年天正冬至日辰及余。

求次气:置天正冬至大、小余,以气策及余秒累加之,秒盈秒法从小余一,小余盈统法从大余一,大余盈纪法去之。

命甲子,算外,即各得次气日辰及余秒。

推天正经朔:置天正冬至气积分,以朔实去之,不尽为闰余;以减天正冬至气积分,余为天正十一月经朔加时积分;满旬周去之,不尽,以统法约之为大余,不满为小余。其大余命甲子,算外,即所求年天正十一月经朔日辰及余。

求弦望及次朔经日:置天正十一月经朔大、小余,以弦策累加之,去命如前,即各得弦、望及次朔经日及余秒。

求没日:置有没之气小余,以三百六十乘之,其秒进一位,从之,用减岁周,余满岁余除之为日,不满为余。其日,命其气初日日辰,算外,即为其气没日日辰。凡气小余在没限以上者,为有没之气。

求灭日:置有灭之朔小余,以三十乘之,满朔虚分除之为日,不满为余。其日命其月经朔初日日辰,算外,即为其月灭日日辰。凡经朔小余不满朔虚分者,为有灭之朔。

步发敛

候策:五、余八百七十六、秒四。

卦策:六、余一千五十一、秒一十二。

土王策:三、余五百二十五、秒二十四。

月闰:一万九百三、秒二十四。

辰法:二千五。

半辰法:一千二半。

刻法:一千三百三。

秒母:三十六。

推七十二候:各因中节大、小余命之,为初候;以候策加之,为次候;又加之,为末候。

求六十四卦:各因中气大、小余命之,为初卦用事日;以卦策加之,为中卦用事日;又加之,得终卦用事日。以土王策加诸侯内卦,得十有二节之初外卦用事日;又加之,得大夫卦用事日;复以卦策加之,得卿卦用事日。

推五行用事:各因四立之节大、小余命之,即春木、夏火、秋金、冬水首用事日;以土王策减四季中气大、小余,命甲子,算外,为其月土始用事日。

求中气去经朔:置天正冬至闰余,以月闰累加之,满统法约之为日,不尽为余,即各得每月中气去经朔日及余秒。其闰余满闰限者,为月内有闰也;仍定其朔内无中气者为闰月。

求卦候去经朔:以卦、候策累加减中气,去经朔日及余,中气前,减;中气后,加。

即各得卦、候去经朔日及余秒。

求发敛加时:倍所求小余,以辰法除之为辰数,不满,五因之,满刻法为刻,不满为余。其辰数命子正,算外,即各得所求加时辰、刻及分。

步日躔

周天分:四百三十九万四千三十四、秒五十七。

周天度:三百六十五、余三千八十四、秒五十七。

岁差:一百五十四、秒五十七。

二至限日:一百八十二、余七千四百八十。

冬至后盈初夏至后缩末限日:八十八、余一万九百五十八。

夏至后缩初冬至后盈末限日:九十三、余八千五百五十二。

求每日盈缩分:置入二至后全日,各在初限已下为初限;已上,用减二至限,余为末限。列初、末限日及分于上,倍初、末限日及约分于下,相减相乘。求盈缩分者,在盈初、缩末,以三千二百九十四除之。在盈末、缩初,以三千六百五十九除之,皆为度,不满,退除为分秒。求朏朒积者,各退二位,在盈初缩末,以三百六十六而一;在盈末缩初,以四百七而一,各得所求。以盈缩相减,余为升降分;盈初缩末为升,缩初盈末为降。

以朏朒积相减,余为损益率。在初为益,在末为损。

求经朔弦望入盈缩限:置天正闰日及余,减缩末限日及余,为天正十一月经朔入缩末限日及余;以弦策累加之,满盈缩限日去之,即各得弦望及次朔入盈缩限日及余秒。

求经朔弦望朏朒定数:各置所入盈缩限日小余,以其日下损益率乘之,如统法而一,所得,损益其下朏朒积为定数。

求定气:冬夏二至以常气为定气。自后,以其气限日下盈缩分盈加缩减常气约余,即为所求之气定日及分秒。

赤道宿度

斗:二十六

牛:八

女:十二

虚:十少秒六十四

危:十七

室:十六

壁:九

北方七宿九十八度少、秒六十四。

奎:十六

娄:十二

胃:十四

昴:十一

毕:十七

觜:一

参:十

西方七宿八十一度。

井:三十三

鬼:三

柳:十五

星:七

张:十八

翼:十八

轸:十七

南方七宿一百一十一度。

角:十二

亢:九

氐:十五。

房:五

心:五

尾:十八

箕:十一

东方七宿七十五度。

前皆赤道宿度,与古不同。自《大衍历》依浑仪测为定,用纮带天中,仪极攸凭,以格黄道。

推天正冬至加时赤道日度:以岁差乘所求积年,满周天分去之,不尽,用减周天分,余以统法除之为度,不满为余。命起赤道虚宿四度外去之,至不满宿,即为所求年天正冬至加时赤道日度及余秒。

求夏至赤道日度:置天正冬至加时赤道日度,以二至限及余加之,满赤道宿次去之,即得夏至加时赤道日度及余秒。因求后昏后夜半赤道日度者,以二至小余减统法,余以加二至赤道日度之余,即二至初日昏后夜半赤道日度,以每日累加一度,去命如前,各得所求。

求二十八宿赤道积度:置二至加时日躔赤道全度,以二至加时赤道日度及约分减之,余为距后度。以赤道宿次累加之,即得二十八宿赤道积度及分秒。

求二十八宿赤道积度入初末限:各置赤道积度及分秒,满象限九十一度三十一分、秒九即去之,若在四十五度六十五分、秒五十四半已下为初限;已上,用减象限,余为末限。

求二十八宿黄道度:各置赤道宿入初、末限度及分,三之,为限分。用减四百,余以限分乘之,一万二千而一为度,命曰黄赤道差。至后以减、分后以加赤道宿积度,为黄道积度;以前宿黄道积度减之,余为二十八宿黄道度及分。其分就近约为太、半、少,若二至之宿不足减者,即加二至限,然后减之,余依术算。

黄道宿度

斗:二十三半

牛:七半

女:十一半

虚:十少秒六十四。

危:十七太

室:十七少

壁:九太

北方七宿九十七度半、秒六十四。

奎:十七太

娄:十二太

胃:十四半

昴:十一太

毕:十六

觜:一

参:九少

西方七宿八十二度。

井:三十

鬼:二太

柳:十四少

星:七

张:十八太

翼:十九半

轸:十八太

南方七宿一百一十一度。

角:十三

亢:九半

氐:十五半

房:五

心:四太

尾:十七

箕:十

东方七宿七十四度太。

前黄道宿度,乃依今历岁差变定。若上考往古,下验将来,当据岁差,每移一度,依历推变,然后可步七曜,知其所在。

求天正冬至加时黄道日度:置天正冬至加时赤道日度及约分,三之,为限分;用减四百,余以限分乘之,一万二千而一为度,命曰黄赤道差;用减天正冬至加时赤道日度及分,即为所求年天正冬至加时黄道日度及分。夏至日度,准此求之。

求二至初日晨前夜半黄道日度:置一万分,以其日升降分升加降减之,以乘二至小余,如统法而一,所得,以减二至加时黄道日度,余为二至初日晨前夜半黄道日度及分。

求每日晨前夜半黄道日度:置二至初日晨前夜半黄道日度及分,每日加一度,百约其日下升降分,升加降减之,满黄道宿次去之,即各得二至后每日晨前夜半黄道日度及分。

求太阳过宫日时刻:置黄道过宫宿度,以其日晨前夜半黄道宿度及分减之,余以统法乘之,如其太阳行分而一,为加时小余;如发敛求之,即得太阳过宫日、时、刻及分。

黄道过宫太史局吴泽等补治有此一段,开封进士吴时举、国学进士程憙、常州百姓张文进本并无之。

危宿十五度少,入卫之分,亥。

奎宿三度半,入鲁之分,戌。

胃宿五度半,入赵之分,酉。

毕宿十度半,入晋之分,申。

井宿十二度,入秦之分,未。

柳宿七度半,入周之分,午。

张宿十七度少,入楚之分,巳。

轸宿十二度,入郑之分,辰。

氐宿三度少,入宋之分,卯。

尾宿八度,入燕之分,寅。

斗宿九度,入吴之分,丑。

女宿六度少,入齐之分,子。

步月离

转周分:三十三万一千四百八十二、秒三百八十九。

转周日:二十七、余六千六百七十二、秒三百八十九。

朔差日:一、余一万一千七百四十、秒九千六百一十一。

弦策:七、余四千六百三、秒二千五百。

望策:一十四、余九千二百六、秒五千。

以上秒母同一万。

七日:初数一万六百九十,初约八十九;末数一千三百四十,末约一十一。

十四日:初数九千三百五十一,初约七十八;末数二千六百七十九,末约二十二。

二十一日:初数八千一十一,初约六十七;末数四千一十九,末约三十三。

二十八日:初数六千六百七十二,初约五十五。

上弦:九十一度三十一分、秒四十一。

望:一百八十二度六十二分、秒八十二。

下弦:二百七十三度九十四分、秒二十三。

平行:一十三度三十六分、秒八十七半。

以上秒母同一百。

求天正十一月经朔加时入转:置天正十一月经朔加时积分,以转周分秒去之,不尽,以统法约之为日,不满为余。命日,算外,即得所求年天正十一月经朔加时入转日及余秒。若以朔差日及余秒加之,满转周日及余秒去之,即次朔加时入转日及余秒。各以其月经朔小余减之,余为其月经朔夜半入转。

求弦望入转:因天正十一月经朔加时入转日及余秒,以弦策累加之,去命如前,即得弦、望入转日及余秒。求朔弦望入转朏朒定数:置入转余,乘其日算外损益率,如统法而一,所得,以损益其下朏朒积为定数。其在四七日下余如初数已下,初率乘之,初数而一,以损益其下朏朒积为定数。若初数已上者,以初数减之,余乘末率,末数而一,用减初率,余加其日下朏朒积为定数。其十四日下余若在初数已上者,初数减之,余乘末率,末数而一,便为朏定数。

求朔弦望定日、各以入限、入转朏朒定数,朏减朒加经朔、弦、望小余,满若不足,进退大余,命甲子,算外。各得定日及余。若定朔干名与后朔干名同者月大,不同者月小,其月内无中气者为闰月。凡注历,观定朔小余,秋分后在统法四分之三已上者,进一日;若春分后定朔晨昏差如春分之日者,三约之,用减四分之三;定朔小余在此数已上者,亦进一日;或当交亏初在日入已前者,其朔不进。弦、望定小余不满日出分者,退一日;望若有交,亏初在日出分已前者,其定望小余虽满日出分,亦退一日。又有月行九道迟疾,历有三大二小者;依盈缩累增损之,则有四大三小,理数然也。若俯循常仪,当察加时早晚,随其所近而进退之,使不过三大二小。

求定朔弦望加时日度:置定朔、弦、望约分,副之,以乘其日升降分,一万约之,所得,升加降减其副,以加其日夜半日度,命如前,各得定朔、弦、望加时日躔黄道宿度及分秒。

求月行九道:凡合朔初交,冬入阴历,夏入阳历,月行青道。冬至、夏至后,青道半交在春分之宿,出黄道东;立冬、立夏后,青道半交在立春之宿,出黄道东南:至所冲之宿亦如之。

冬入阳历,夏入阴历,月行白道。冬至、夏至后,白道半交在秋分之宿,出黄道西;立冬、立夏后,白道半交在立秋之宿,出黄道西北;至所冲之宿亦如之。

春入阳历,秋入阴历,月行朱道。春分、秋分后,朱道半交在夏至之宿,出黄道南;立夏、立秋后,朱道半交在立夏之宿,出黄道西南:至所冲之宿亦如之。

春入阴历,秋入阳历,月行黑道。春分、秋分后,黑道半交在冬至之宿,出黄道北;立春、立秋后,黑道半交在立冬之宿,出黄道东北:至所冲之宿亦如之。

四序离为八节,至阴阳之所交,皆与黄道相会,故月行有九道。各视月行所入正交积度,满交象去之,入交积度及交象度,并在交会术中。

若在半交象已下为初限;已上,覆减交象,余为末限。置初、末限度及分,三之,为限分;用减四百,余以限分乘之,二万四千而一为度,命曰月道与黄道差数。距正交后、半交前,以差数加;距半交后、正交前,以差数减。此加减出入黄道六度,单与黄道相校之数,若校赤道,则随气迁变不常。

仍计去冬、夏二至已来度数,乘差数,如九十而一,为月道与赤道差数。凡日以赤道内为阴,外为阳;月以黄道内为阴,外为阳。故月行宿度,入春分交后行阴历,秋分交后行阳历,皆为同名;入春分交后行阳历,秋分交后行阴历,皆为异名。

其在同名者,以差数加者加之,减者减之;其在异名者,以差数加者减之,减者加之。二差皆增益黄道宿积度,为九道宿积度;以前宿九道积度减之,为其宿九道度及分秒。其分就近约之为太、半、少。

求月行九道平交入气:各以其月闰日及余,加经朔加时入交泛日及余秒,盈交终日及余秒去之,乃减交终日及余秒。即各得平交入其月中气日及余秒;若满气策即去之,余为平交入后月节气日及余秒。若求朏朒定数,如求朔、望朏朒术入之,即得所求。

求平交入转朏朒定数:置所入气余,加其日夜半入转余,乘其日算外损益率,如统法而一,所得,以损益其下朏朒积,乃以交率乘之,交数而一,为定数。

求正交入气:以平交入气、入转朏朒定数,朏减朒加平交入气余,满若不足,进退其日,即正交入气日及余秒。

求正交加时黄道日度:置正交入气余,副之,以乘其日升降分,一万约之,升加降减其副,乃以一百乘之,如统法而一,以加其日夜半日度,即正交加时黄道日度及分秒。

求正交加时月离九道宿度:置正交度加时黄道日及分,三之,为限分。用减四百,余以限分乘之,二万四千而一,命曰月道与黄道差数。以加黄道宿度,仍计去冬、夏二至已来度数,以乘差数,如九十而一,为月道与赤道差数。同名以加,异名以减,二差皆增损正交度,即正交加时月离九道宿度及分秒。

求定朔弦望加时月离黄道宿度:置定朔、弦、望加时日躔黄道宿度及分,凡合朔加时,月行潜在日下,与太阳同度,是为加时月度。各以弦、望度加其所当日度,满黄道宿次去之,即各得定朔、弦、望加时月离黄道宿度及分秒。

求定朔弦望加时月离九道宿度:置定朔、弦、望加时月离黄道宿度及分秒,加前宿正交后黄道积度,如前求九道术入之,以前定宿正交后九道积度减之,余为定朔、弦、望加时月离九道宿度及分秒。凡合朔加时,若非正交,即日在黄道、月在九道所入宿度。虽多少不同,考其去极,若应绳准,故曰加时九道。

求定朔午中入转:各视经朔夜半入转日及余秒,以半法加之,若定朔及余有进退者,亦进退转日,否则因经为定。因求次日,累加一日,满转周日及余秒去之,即每日午中入转。

求晨昏月度:以晨分乘其日算外转定分,如统法而一,为晨转分;用减转定分,余为昏转分;乃以朔、弦、望小余乘其日算外转定分,如统法而一,为加时分;以减晨昏转分,余为前;不足减者,覆减之,余为后;以前加后减定朔、弦、望月度,即晨、昏月所在度。

求朔弦望晨昏定程:各以其朔昏定月减上弦昏定月,余为朔后昏定程;以上弦昏定月减望昏定月,余为上弦后昏定程;以望晨定月减下弦晨定月,余为望后晨定程;以下弦晨定月减后朔晨定月,余为下弦后晨定程。

求每日转定度数:累计每程相距日转定分,以减定程,余为盈;不足减者,覆减之,余为缩;以相距日除之,所得,盈加缩减每日转定分,为每日转定度及分秒。

求每日晨昏月:置朔、弦、望晨昏月,以每日转定度及分加之,满宿次去之,为每日晨昏月。凡注历,自朔日注昏月,望后一日注晨月。

已前月度并依九道所推,以究算术之精微,如求速要,即依后术求之。

求天正十一月经朔加时平行月:置岁周,以天正闰余减之,余以统法约之为度,不满,退除为分秒,即天正十一月经朔加时平行月积度及分秒。

求天正十一月定朔夜半平行月:置天正经朔小余,以平行月度分秒乘之,如统法而一为度,不满,退除为分秒,以减天正十一月经朔加时平行月积度,即天正十一月经朔晨前夜半平行月。其定朔大余有进退者,亦进退平行度,否则因经为定,即天正十一月定朔晨前夜半平行月积度及分秒。

求次定朔夜半平行月:置天正十一月定朔晨前夜半平行月积度及分秒,大月加三十五度八十分、秒六十一,小月加二十二度四十三分、秒七十三半,满周天度及约分、秒去之,即得次定朔晨前夜半平行月积度及分秒。

求弦望定日夜半平行月:各计朔、弦、望相距之日,乘平行度及分秒,以加其月定朔晨前夜半平行月积度及分秒,即其月弦望定日晨前夜半平行月积度及分秒。

求定朔晨前夜半入转:置其月经朔晨前夜半入转日及余秒,若定朔大余有进退者,亦进退转日,否则因经为定,其余如统法退除为分秒,即得其月定朔晨前夜半入转日及分秒。因求次日,累加一日,满转周二十七日五十五分、秒四十六去之,即每日晨前夜半入转。

求定朔弦望晨前夜半定月:置定朔、弦、望晨前夜半入转分,乘其日算外增减差,百约为分,分满百为度,增减其下迟疾度,为迟疾定度;迟减疾加定朔、弦、望晨前夜半平行月积度及分秒,以天正冬至加时黄道日度加而命之,即各得定朔、弦、望晨前夜半月离宿度及分秒。如求每日晨、昏月,依前术入之,即得所求。

步晷漏

二至限:一百八十二日六十二分。

一象:九十一日三十一分。

消息法:九千七百三。

半法:六千一十五。

辰法:二十五。

半辰法:一十二半。

刻法:一千二百二。

辰刻:八、余四百一。

昏明分:三百太。

昏明刻:二、余六百一半。

冬至岳台晷影常数:一丈二尺八寸五分。

夏至岳台晷影常数:一尺五寸七分。

冬至后初限夏至后末限:四十五日、六十二分。

冬至后末限夏至后初限:一百三十七日、空分。

求岳台晷影入二至后日数:计入二至以来日数,以二至约分减之,乃加半日之分五十,即入二至后来午中日数及分。

求岳台午中晷影定数:置入二至后日及分,如初限已下者为初;已上,覆减二至限,余为末。其在冬至后初限、夏至后末限者,以入限日入分减一千九百三十七半,为泛差。仍以入限日及分乘其日盈缩积,其盈缩积者,以入盈缩限日及分与二百相减相乘,为盈缩积也。

五因百约,用减泛差,为定差;乃以入限日及分自相乘,以定差乘之,满一百万为尺,不满为寸、分,以减冬至岳台晷影常数,余为其日午中晷影定数。其在冬至后末限、夏至后初限者,以三约入限日及分,减四百八十五少,为泛差;仍以盈缩差度减去极度,余者春分后、秋分前,四约,以加泛差,为定差。春分前、秋分后,以去二分日数乘之,六百而一,以减泛差,为定差。乃以入限日及分自相乘,以定差乘之,满一百万为尺,不满为寸分,以加夏至岳台晷影常数,为其日午中晷影定数。

求每日午中定积日:置其日午中入二至后来日数及分,以其日盈缩分盈加缩减之,即每日午中定积日及分。

求每日午中消息定数:置定积日及分,在一象已下自相乘,已上,用减二至限,余亦自相乘,七因,进二位,以消息法除之,为消息常数;副置之,用减六百一半,余以乘其副,以二千六百七十除之,以加常数,为消息定数。冬至后为息,夏至后为消。

求每日黄道去极度:置其日消息定数,十六乘之,满四百一除之为度,不满,退除为分,春分后加六十七度三十一分,秋分后减一百一十五度三十一分,即每日午中黄道去极度及分。

求每日太阳去赤道内外度:置其日黄道去极度及分,与一象度相减,余为太阳去赤道内、外度及分。去极多为日在赤道外,去极少为日在赤道内。

求每日晨昏分及日出入分半昼分。置其日消息定数,春分后加二千一百少,秋分后减三千三百八少,各为其日晨分;用减统法,余为昏分。以昏明分加晨分,为日出分;减昏分,为日入分;以日出分减半法,余为半昼分。

求每日距中度:置其日晨分,进位,十四因之,以四千六百一十一除之为度,不满,退除为分,即距子度。用减半周天,余为距中度;五而一,为每更差数。

求每日夜半定漏:置晨分,进一位,如刻法而一为刻,不满为刻分,即每日夜半定漏。

求每日昼夜刻及日出入辰刻:置夜半定漏,倍之,加五刻,为夜刻。减百刻,为昼刻。以昏明刻加夜半定漏,命子正,算外,得日出辰刻。以昼刻加之,命如前,即日入辰刻。其辰数依发敛术求之。

求更点辰刻:置其日夜半定漏,倍之,二十五而一为筹差;半之,进位,为更差。以昏明刻加日入辰刻,即甲夜辰刻;以更筹差累加之,满辰刻及分去之,各得每更筹所在辰刻及分。若用司辰漏者,倍夜半定漏,减去待旦十刻,余依术算,即得内中更筹也。

求每日昏晓中星及五更中星:置距中度,以其日昏后夜半赤道日度加而命之,即得其日昏中星所格宿次,命之曰初更中星。以每更差度加而命之,即乙夜中星。以更差度累加之,去命如前,即五更及晓中星。若依司辰星漏倍距子度,减去待旦三十六度五十二分半,余依术求更点差度,即内中昏晓五更及攒点中星也。

求九服距差日:各于所在立表候之,若地在岳台北,测冬至后与岳台冬至晷影同者,累冬至后至其日,为距差日。若地在岳台南,测夏至后与岳台晷影同者,累夏至后至其日,为距差日。

求九服晷影:若地在岳台北冬至前后者,以冬至前后日数减距差日,为余日。以余日减一千九百三十七半,为泛差。依前术求之,以加岳台冬至晷影常数,为其地其日午中晷影定数。冬至前后日多于距差日者,乃减去距差日,余依法求之,即得其地其日午中晷影定数。若地在岳台南夏至前后者,以夏至前后日数减距差日,为余日。乃三约之,以减四百八十五少,为泛差。依前术求之,以减岳台夏至晷影常数,即其地其日午中晷影定数。如夏至前后日数多于距差日,乃减去距差日,余依法求之,即得其地其日午中晷影定数,即晷在表南也。

求九服所在昼夜漏刻:各于所在下水漏,以定二至夜刻,乃相减,余为二至差刻。乃置岳台其日消息定数,以其处二至差刻乘之,如岳台二至差刻二十除之,所得为其地其日消息定数。乃倍消息定数,进位,满刻法约之为刻,不满为分,以加减其处二至夜刻,春分后、秋分前,以加夏至夜刻;秋分后、春分前,以减冬至夜刻。

为其地其日夜刻;以减百刻,余为昼刻。求日出入差刻及五更中星,并依岳台法求之。